写在前面：

本笔记是个人学习拉扎维的《模拟CMOS集成电路设计》的心得总结，由于正在学习模拟电子电路和半导体器件，所以对书中的一些关键内容理解稍有偏差，还请谅解！

MOS器件物理基础#

数字电路中常常用MOS管的通电断电来控制导通与截止，从而控制01信号以及逻辑操作。但是我们更加疑惑：在导通和截止之间发生了什么，多大的电压可以导通，导通沟道有压降存在吗，等等，这也是模拟电路的研究范畴。

针对这些问题，理想的学习路径分为两条，一是从固体物理或半导体物理出发进行器件推导，二是从电路层面学习黑盒子进行拼接组装。幸运又不幸的是，我正在同时学习两门课程。

I-V特性推导#

我们已知，MOS管的G和B之间有电容的性质，可以通过控制栅极电压，从而控制导电沟道。这种假设下的沟道两端的D和S，他们的电势完全相同，但实际应用中，由于有电流流动，就必然会带来电势的不平衡，也就是$V_D>V_S$。

在这种情况下的氧化层电容，其中的电荷分布也会有所不同。粗略来看，必然是压差大的地方电荷多，压差小的地方电荷少。这种情况下我们做一个近似：缓变沟道近似。我们假设沟道中纵向的电场远小于横向的电场。基于这个假设，我们可以把沟道看作无数个微小的MOS电容串联，每一处的电荷密度只由该处的局部电压决定。

我们以源极为原点 $x=0$，且设 $V_S = 0$，漏极 $x=L$ 处 $V_D = V_{DS}$。在距离S极 $x$ 的位置，沟道电势为 $V(x)$。

因此，单位面积上的自由电子电荷密度 $Q_n(x)$ 为：

$$Q_n(x) = -C_{ox} [V_{GS} - V_{TH} - V(x)]$$

根据半导体物理的漂移电流公式，电流等于电荷密度乘以载流子漂移速度 $v(x)$，再乘以沟道宽度 $W$。漂移速度与电场成正比：$v(x) = \mu_n E_x = \mu_n \frac{dV(x)}{dx}$所以沿 $x$ 方向的漏极电流 $I_D$ 可以写为：

$$I_D = W \cdot \mu_n \cdot C_{ox} [V_{GS} - V_{TH} - V(x)] \frac{dV(x)}{dx}$$

由于稳态下电流 $I_D$ 在沟道各处处处相等，我们可以对上式分离变量，并在整个沟道长度 $L$ 上进行积分：

$$\int_{0}^{L} I_D \, dx = \int_{0}^{V_{DS}} W \mu_n C_{ox} [V_{GS} - V_{TH} - V(x)] \, dV(x)$$

左边积分得到 $I_D \cdot L$，右边是对 $V(x)$ 的多项式积分。将 $L$ 除过去，我们就得到了大名鼎鼎的线性区（Triode Region）电流公式：

$$I_D = \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} \left[ (V_{GS} - V_{TH})V_{DS} - \frac{1}{2}V_{DS}^2 \right]$$

我们分析此公式可以得到他有一个最大值为：

$$I_{D,max} = \frac{1}{2}\mu_n C_{ox} \frac{W}{L} (V_{GS}-V_{TH})^2$$

最大值在$V_{DS}=V_{GS}-V_{TH}$取得，从这个角度出发，我们得到了模拟电子电路上对MOS管的三段描述：

MOSFET跨导#

跨导是MOS管在饱和区工作时，电压随电流的变化，用$g_m$表示，为：

$$g_m=\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}|_{V_{DS,const}}=\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{TH})=\sqrt{2\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}I_D}=\frac{2I_D}{V_{GS}-V_{TH}}$$

二级效应#

体效应#

在多管串联的电路（如源极跟随器、共源共栅放大器）中，很多MOS管的源极电位并不为0（$V_S > 0$），而为了防止正向偏置，P型衬底通常统一接最低电位（$V_B = 0$）。这就导致了源衬底反向偏压 $V_{SB} > 0$。

当 $V_{SB} > 0$ 时，PN结反偏加剧，表面势垒变高。从半导体物理的角度来看，反偏电压吸引了更多的空穴向衬底深处移动，导致沟道下方的耗尽层电荷（固定负离子）增多。要想重新开启沟道（达到强反型），栅极就必须额外施加电压，去抵消这些变多了的耗尽层固定电荷。在宏观上表现为阈值电压 $V_{TH}$ 升高。

引入体效应后的阈值电压公式为：

$$V_{TH} = V_{TH0} + \gamma \left( \sqrt{2\phi_F + V_{SB}} - \sqrt{2\phi_F} \right)$$

• $V_{TH0}$：$V_{SB}=0$ 时的理想阈值电压。
• $\gamma$：体效应系数（Body Effect Coefficient），其数学表达式为 $\gamma = \frac{\sqrt{2q\varepsilon_{si}N_{sub}}}{C_{ox}}$，可见衬底掺杂浓度 $N_{sub}$ 越高，体效应越明显。
• $2\phi_F$：强反型时的表面势（通常约为 $0.6\text{V} \sim 0.8\text{V}$）。

电路影响降低过驱动电压：由于 $V_{TH}$ 变大，过驱动电压 $V_{GS} - V_{TH}$ 减小，在相同偏置下会导致电流 $I_D$ 下降。

引入背栅跨导（$g_{mb}$）：在小信号模型中，衬底（B）变成了第二个“栅极”。衬底电压的变化也能控制电流，这被称为背栅效应，其跨导定义为：

$$g_{mb} = \frac{\partial I_D}{\partial V_{BS}} = \eta g_m \quad \left( \eta = \frac{\gamma}{2\sqrt{2\phi_F + V_{SB}}} \approx 0.1 \sim 0.3 \right)$$

在源极跟随器中，体效应会直接导致其电压增益无法达到理想的 1，而是退化为 $\frac{g_m}{g_m + g_{mb} + g_{mb\_load}}$。

沟道长度调制#

在前面的推导中，我们假设一旦 $V_{DS} \ge V_{GS} - V_{TH}$，沟道就在漏端夹断，此后电流完全水平。但实际上，夹断点是会移动的。

当 $V_{DS}$ 进一步增大，多出来的电压（$V_{DS} - V_{ov}$）并不会平白无故消失，它会降落在漏极与夹断点之间的那段耗尽区上。随着该段耗尽区横向扩展，实际的有效沟道长度被“蚕食”了，变成了 $L_{eff} = L - \Delta L$。由于 $I_D \propto \frac{1}{L_{eff}}$，有效长度减小导致沟道内的横向电场增强，从而使饱和区电流随 $V_{DS}$ 的增加而继续微微上升。

为了在数学上简便修正，我们仿照三极管的厄尔利效应（Early Effect），在线性区电流公式的基础上引入修正项 $(1 + \lambda V_{DS})$：

$$I_D = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} (V_{GS} - V_{TH})^2 (1 + \lambda V_{DS})$$

• $\lambda$：沟道长度调制系数（Channel Length Modulation Coefficient），它与工艺和沟道长度成反比（$\lambda \propto \frac{1}{L}$）。这意味着工艺越先进、管子尺寸越短，该效应越剧烈。

使电流镜失配：在模拟电路中，复制偏置电流的“电流镜”如果两端 $V_{DS}$ 不等，由于 $\lambda$ 的存在，会导致电流复制不精准。

产生有限的输出电阻（$r_o$）：饱和区的 MOSFET 别想做成绝对理想的恒流源了，它具有一个有限的漏源输出电阻：

$$r_o = \left( \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} \right)^{-1} \approx \frac{1}{\lambda I_D}$$

这个 $r_o$ 是模拟电路的“命根子”。单管共源放大器的内在增益上限就是 $-g_m r_o$。为了提高增益，我们必须增大 $L$（减小 $\lambda$）来逼高 $r_o$。

亚阈值导电性 (Subthreshold Conduction)#

数字电路中我们坚信：$V_{GS} < V_{TH}$ 时管子就彻底关断。但对模拟电路和固体物理来说，世事皆连续，断灭非瞬间。

当 $V_{GS}$ 略低于 $V_{TH}$ 时，半导体表面虽然没有达到“强反型”，但也进入了“弱反型（Weak Inversion）”。此时表面虽然电子极少，但并非为零。在强反型区，电流是由纵向电场驱动的漂移电流（Drift）；而在亚阈值区（弱反型区），由于漏端电势高、源端电势低，两端的载流子浓度差占据了主导，此时的电流主要是扩散电流（Diffusion）。这就让 MOSFET 在微观行为上突然变成了一个 BJT（双极型三极管）！

因为是扩散机制，电流与栅源电压不再是平方关系，而是变成了指数关系：

$$I_D \approx I_{D_0} \cdot \exp ( \frac{V_{GS}}{\zeta V_T} )$$

• $V_T = \frac{kT}{q}$：热电压（常温下约为 $26\text{mV}$）。

• $\zeta$：亚阈值理想因子（通常 $>1$），由栅氧化层电容和表面耗尽层电容分压决定。

• 亚阈值摆幅（Subthreshold Swing, SS）：指电流改变一个数量级（10倍）所需要改变的栅电压 $V_{GS}$。定义为 $SS = \ln 10 \cdot \zeta V_T$。在常温下，室温物理极限约为 $60\text{mV/decade}$，实际器件通常在 $70 \sim 90\text{mV/decade}$。

• 超低功耗电路的福音：在生物医疗芯片、智能手表等对功耗要求极其严苛的场景下，可以故意让偏置电流降到 $\text{nA}$ 级别，使管子工作在亚阈值区。此时它的跨导效率 $\frac{g_m}{I_D} = \frac{1}{\zeta V_T}$ 达到理论最高值，非常省电。

• 数字电路的静态功耗（漏电）：即便数字芯片在休眠，由于 $SS$ 的限制，成百上千亿个管子的亚阈值漏电流累加起来也会消耗巨大的能量，这是现代先进纳米工艺（如3nm / 2nm）面临的重大物理挑战。

亚阈值导电性#